Ondas materiales relacion de broglie

En un trabajo publicado en 1924, De Broglie partía de una comparación entre las propiedades del fotón y el electrón para suponer que esta última partícula podría poseer relaciones de energía-frecuencia y longitud de onda-momento lineal análogas a la primera, y expresadas como:

Siendo  un vector unitario que comparte dirección y sentido con el vector de onda .

Partiendo de las hipótesis relativistas, se podría establecer una equivalencia entre energía y el momento lineal del electrón considerado como onda y como partícula material, de lo que se deduciría que:

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Aplicación de La Mecánica Cuántica

No sólo nos permitió la comprensión de los átomos, sino que también introdujo un nuevo universo de conceptos e ideas, muchos de los cuales a primera vista eran descabellados. Sin embargo todas las predicciones de la Mecánica Cuántica han sido confirmadas, incluso aquellas que parecían en total contradicción con el sentido común. No solamente amplió nuestra visión intelectual o filosófica de la realidad. También permitió el desarrollo tecnológico en el cual nos encontramos inmersos en estos días. Así fue posible realizar estudios microscópicos de los materiales con una nueva disciplina, la que se llamó Física del Estado Sólido o Física del Sólido.

La Física del Sólido es la base del desarrollo tecnológico del siglo XX. Por ejemplo, es prácticamente imposible imaginarse las telecomunicaciones modernas sin dispositivos cuyas bases no se encuentren en la Mecánica Cuántica. Un teléfono portátil, por ejemplo, tendría el tamaño de una casa, difícilmente posible de llevárselo al oído. Sin la Mecánica Cuántica habrían muy limitadas comunicaciones internacionales, significaría habernos quedado con el telégrafo de los símbolos de Morse y no existiría la Internet, el correo electrónico, el contacto con bibliotecas internacionales, etc. El mundo actual sería mucho más primitivo y atrasado.

Por otra parte hizo posible el avance de la medicina, con la infinidad de instrumentos nuevos que permiten diagnósticos y tratamientos mucho más simples y precisos. Baste mencionar aquí el láser, el scanner, los equipos de resonancia magnética nuclear, los rayos X, etc. todos los cuales no existirían sin este conocimiento básico.

Por otra parte la Mecánica Cuántica es la teoría mejor comprobada experimentalmente enla historia de la Ciencia: no da razones últimas de por qué la Naturaleza es como parece ser, o de si podría ser de otra forma, pero reproduce correctamente los comportamientos observados. Aunque algunas de sus características desafíen al sentido común, no contiene contradicciones, es compatible con todos los resultados experimentales conocidos, y ha permitido numerosas predicciones sobre nuevos fenómenos que hasta ahora siempre se han confirmado. Ello no la convierte en un dogma indiscutible, pero tampoco es una mera construcción social o un simple consenso entre quienes se dedican a ella, como mantienen los sociólogos postmodernos y deconstructivistas respecto a las ciencias de la naturaleza en general, negando su caracter objetivo. pregunta "¿onda o partícula?", la respuesta ortodoxa es "a veces onda y a veces partícula", mientras que en la teoría de de Broglie-Bohm es onda y partícula en todo momento.

Las leyes físicas no son simples convenciones sociales entre los físicos en un momento histórico dado, sin más elementos objetivos que los que se dan en similares consensos en las humanidades, el Arte o la Política, donde los criterios cambian y lo mayoritariamente.

La Mecánica Cuántica tampoco es un sistema puramente matemático de postulados y teoremas sometidos sólo a su consistencia lógica interna: es unateoría de la Naturaleza experimentalmente falsable. En cualquier momento puede aparecer nueva evidencia experimental que obligue a rechazarla o almenos modificarla. En concreto, sigue habiendo dificultades para compatibilizarla con la Relatividad General, y existen indicios de que a distancias del orden de la llamada longitud de Planck, 1.6 ×10 -35m, mucho más pequeñas que las alcanzadas hasta el presente, la estructura del espacio tiempo puede ser muy distinta de la considerada hasta ahora, exigiendo un nivel más profundo de cuantificación (del propio espacio-tiempo e incluso de su topología). Aunque éste sea el final de esta contribución, ciertamente no hemos llegadoal Fin de la Historia de la Mecánica Cuántica.

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Hipotesis de Planck

Max Planck presentó su teoría cuántica en el año 1900, revolucionando la física moderna. Él demostró que la luz y la radiación no emiten continuamente en una cantidad constante de toda la materia. Planck sugirió que luz y radiación eran emitidas y absorbidas en distintas cantidades por diversas partículas subatómicas en toda la materia. Estos hallazgos se basaron en la observación cuidadosa de la radiación del cuerpo negro. Las frecuencias de la radiación de la materia mostraron que dependían de los átomos de energía conocidos como fotones. Planck había descubierto una fórmula matemática, apoyando la idea de que la energía es siempre emitida o absorbida en unidades discretas denominadas cuantos. Por lo tanto, la luz es producida y absorbida en diferentes cuantos dependiendo de la estructura atómica de la materia.

Max Planck es ampliamente reconocido como el fundador de la física cuántica. Este científico alemán fue uno de los físicos más influyentes del siglo XX, conocido principalmente por su creación de la teoría cuántica. Considerando que la teoría de la relatividad de Einstein más tarde examinaría las propiedades de la materia más grande en el universo, la teoría cuántica de Planck se centró en la naturaleza de las partículas subatómicas más diminutas. En 1918 obtuvo el Premio Nobel de física por sus logros. Planck marcó el comienzo de una nueva era del pensamiento la cual llevó a la física a otro nivel.

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Efecto fotoeléctrico

Consiste en la emisión de electrones por un material cuando se hace incidir sobre él una radiación electromagnética (luz visible o ultravioleta, en general). A veces se incluyen en el término otros tipos de interacción entre la luz y la materia:

Fotoconductividad: es el aumento de la conductividad eléctrica de la materia o en diodos provocada por la luz. Descubierta por Willoughby Smith en el selenio hacia la mitad del siglo XIX.

Efecto fotovoltaico: transformación parcial de la energía lumínica en energía eléctrica. La primera célula solar fue fabricada por Charles Fritts en 1884. Estaba formada por selenio recubierto de una fina capa de oro.

El efecto fotoeléctrico fue descubierto y descrito por Heinrich Hertz en 1887, al observar que el arco que salta entre dos electrodos conectados a alta tensión alcanza distancias mayores cuando se ilumina con luz ultravioleta que cuando se deja en la oscuridad. La explicación teórica fue hecha por Albert Einstein, quien publicó en 1905 el revolucionario artículo “Heurística de la generación y conversión de la luz”, basando su formulación de la fotoelectricidad en una extensión del trabajo sobre los cuantos de Max Planck. Más tarde Robert Andrews Millikan pasó diez años experimentando para demostrar que la teoría de Einstein no era correcta, para finalmente concluir que sí lo era. Eso permitió que Einstein y Millikan fueran condecorados con premios Nobel en 1921 y 1923, respectivamente.

Se podría decir que el efecto fotoeléctrico es lo opuesto a los rayos X, ya que el efecto fotoeléctrico indica que los fotones pueden transferir energía a los electrones. Los rayos X (no se sabía la naturaleza de su radiación, de ahí la incógnita "X") son la transformación en un fotón de toda o parte de la energía cinética de un electrón en movimiento. Esto se descubrió casualmente antes de que se dieran a conocer los trabajos de Planck y Einstein (aunque no se comprendió entonces).

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La constante de Planck

Es la relación entre la cantidad de energía y de frecuencia asociadas a un cuanto o a una partícula elemental.
Es una constante física que desempeña un papel central en la teoría de la mecánica cuántica y recibe su nombre de su descubridor, Max Planck, uno de los padres de dicha teoría.
La constante de Planck (representada por la letra h) relaciona la energía E de los fotones con la frecuencia ν de la onda lumínica (letra griega nu) según la fórmula: 

En el año 1901, el físico alemán Max Planck afirmó que sólo era posible describir la radiación del cuerpo negro con una fórmula matemática que correspondiera con las medidas experimentales, si se aceptaba la suposición de que la materia sólo puede tener estados de energía discretos y no continuos. Esto quiere decir que ciertas propiedades físicas sólo toman valores múltiplos de valores fijos en vez de un espectro continuo de valores.

La idea era que la radiación electromagnética emitida por un cuerpo negro se podía modelar como una serie de osciladores armónicos con una energía cuántica. Relacionando la energía (E) de los fotones de la radiación, con su frecuencia y con su momento angular, se obtiene:

Este modelo se mostró muy exacto y desde entonces se denomina ley de Planck y significa que el universo es cuántico y no continuo.
A nivel macroscópico no parece ser así, pues el valor de la constante de Planck es tan pequeño que el efecto de esta "cuantificación" o "discretización" de los valores de la energía de cualquier sistema aparentemente varían de forma continúa.

Los dos dígitos entre paréntesis denotan la incertidumbre en los últimos dígitos del valor.

La constante de Planck es uno de los números más importantes del universo y ha dado lugar a que la mecánica cuántica ha sustituido a la física tradicional. La constante de Planck aparece igualmente dentro del enunciado del principio de incertidumbre de Heisenberg.

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La cuantificación de la energía

La experiencia que realizaron Franck y Hertz en 1914 es uno de los experimentos claves que ayudaron a establecer la teoría atómica moderna. Nos muestra que los átomos absorben energía en pequeñas porciones o cuantos de energía, confirmando los postulados de Bohr. Mediante una simulación se tratará de explicar las características esenciales de este sencillo experimento, observando el movimiento de los electrones y sus choques con los átomos de mercurio, e investigando el comportamiento de la corriente Ic con la diferencia de potencial U que se establece entre el cátodo y la rejilla.

Descripción

En la figura, se muestra un esquema del tubo que contiene vapor de mercurio a baja presión con el que se realiza el experimento. El cátodo caliente emite electrones con una energía cinética casi nula. Ganan energía cinética debido a la diferencia de potencial existente entre el cátodo y la rejilla, véase el movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico.

Durante el viaje chocan con los átomos de vapor de mercurio y pueden perder energía. Los electrones que lleguen a la rejilla con una energía cinética de 1.5 eV o más, impactarán en el ánodo y darán lugar a una corriente Ic. Los electrones que lleguen a la rejilla con una energía menor que 1.5 eV no podrán alcanzar el ánodo y regresarán a la rejilla. Estos electrones no contribuirán a  la corriente Ic.

La corriente Ic presenta varios picos espaciados aproximadamente 4.9 eV.

El primer valle, corresponde a los electrones que han perdido toda su energía cinética después de una colisión inelástica con un átomo de mercurio.

El segundo valle, corresponde a electrones que han experimentado dos colisiones inelásticas consecutivas con átomos de mercurio, y así

En la simulación, empleamos un número limitado de átomos de Hg y de electrones, en el experimento real el número de átomos y electrones es muy grande, esto hace que para las diferencias de potencial (ddp) para las cuales la corriente presenta un mínimo se produzcan ciertas variaciones en el valor medido de la corriente para la misma ddp.

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La Física Cuántica

Es la ciencia que estudia los fenómenos desde el punto de vista de la totalidad de las posibilidades.
Contempla aquello que no se ve y explica los fenómenos desde lo no visible. Contempla lo no medible, las tendencias, como por ejemplo la no localidad y el in determinismo de las partículas. 

En ese campo de lo no medible estamos nosotros los seres humanos. El átomo es una realidad científica, que dio paso a la Teoría de la Relatividad y luego ésta, a la Física cuántica.
Los espacios entre las partículas de los átomos se los considera "vacío". Es decir, la materia de la que se componen los átomos es casi inexistente. Dentro de los átomos y las moléculas las partículas que lo componen ocupan un lugar insignificante. El resto es vacío, "el valioso vacío del átomo". 

Entonces si la materia está formada por átomos y en éstos la porción particular es menor que la porción de vacío... ¿por que no atravesamos la materia?
El vacío es un concepto, una idea. El vacío en sí no existe. La materia no es estática, tampoco es predecible. El átomo no es una realidad terminada y permanente; es mucho más maleable de lo que el ser humano cree. El átomo no es una cosa. Son tendencias. En lugar de pensar en los átomos como cosas lo tenemos que pensar como posibilidades. "El vacío" es meramente conceptual y representa todas las posibilidades. 

Los seres humanos somos parte de esa cuántica. Pertenecemos al universo. Estamos hechos de polvo de estrellas. De esos mismos átomos con sus posibilidades.
El pensamiento que nosotros emitimos vuela como moléculas que van al aire. Una de ellas se hace realidad creada por nosotros mismos.
La materia no es estática. Es predecible. Dentro de los átomos y las moléculas la materia ocupa un lugar insignificante. Hay que pensar en el átomo no como una realidad determinada sino como una tendencia. 

La conciencia está envuelta, el observador no puede ser ignorado. La realidad es un número "n" de ondas. El Universo esta todo ocupado por millones de energías. La Energía es una vibración que se sucede en el espacio y en el tiempo. Todos somos energía y estamos conectados. Cada uno somos parte del otro. La energía es movimiento. Puede estancarse pero nunca saturarse. La vida es un continuo reciclar de la materia y la energía. 

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Parábola

Sabemos que la geometría analítica estudia las formas o figuras geométricas basadas en ecuaciones y coordenadas definidas sobre un Plano Cartesiano.

Pues bien, una parábola es una forma geométrica.

Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:

Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría).

Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos  y pasa por el vértice.

Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.

Directriz (d):  Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola.

Distancia focal   (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).

Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.

Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.

Lado recto  (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

Para ilustrar las definiciones anteriores, veamos la siguiente gráfica de una parábola:

En el Plano Cartesiano una parábola puede tener su vértice en cualquier par de coordenadas y puede estar orientada hacia arriba, hacia abajo o hacia la izquierda o la derecha.

Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen

Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano), y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica.

Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal o de simetría coincide  con el eje de las X (abscisas) y que está orientada (se abre)  hacia la derecha.

Por definición, sabemos que, en una parábola  la distancia entre un punto “P” (no confundir con el “parámetro p”),   cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco “F”  será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:

De lo anterior resulto:

(trazo PD igual al trazo PF)

El trazo PD nace en el punto (x, y) y termina en el punto (–p, y) y podemos usar la fórmula para calcular distancia entre dos puntos:

El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0), y también podemos usar la fórmula para calcular la distancia entre ellos:

Sustituyendo en la expresión de distancias                            resulta:

Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:

(x + p)2 = (x – p)2 + y2

x2 + 2px + p2 = x2 – 2px + p2 + y2

x2 + 2px + p2 – x2 + 2px – p2 = y2

Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene:

que es ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica.

Esta ecuación tiene leves variaciones según sea la orientación  de la parábola (hacia donde se abre).

Veamos ahora las cuatro posibilidades:

Primera posibilidad

La que ya vimos, cuando la parábola se abre hacia la derecha (sentido positivo) en el eje de las abscisas “X”

Segunda posibilidad

Cuando la parábola se abre hacia la izquierda (sentido negativo)  del eje de las abscisas “X”.

Tercera posibilidad

Cuando la parábola se abre hacia  arriba (sentido positivo) en el  eje de las ordenadas  “Y” .

Cuarta posibilidad

Cuando la parábola se abre hacia abajo (sentido negativo) en el eje de las ordenadas  “Y”.

Información importante:

El parámetro p (que marca la distancia focal)  señala  la distancia entre el foco y el vértice, que es igual a la distancia entre el vérticey la directriz.

Si en la ecuación de la parábola la incógnita x es la elevada al cuadrado, significa que la curvatura de la misma se abre hacia arriba o hacia abajo, dependiendo  del signo del parámetro  p.

Cuando el parámetro p es positivo, la parábola se abre “hacia arriba” y cuando es negativo se abre “hacia abajo”.

Ahora, si en la ecuación de la parábola la incógnita y es la elevada al cuadrado, la curvatura de la misma será hacia la derecha o hacia la izquierda. En este caso, cuando el parámetro p es positivo, la parábola se abre “hacia la derecha” y cuando es negativo se abre “hacia la izquierda”.

Longitud del lado recto (LR)

Tal como dedujimos la ecuación anterior, es posible deducir la ecuación que nos permita calcular la longitud del lado recto (cuerda que pasa por el foco, perpendicular al eje focal o de simetría):

No desarrollaremos el camino y sólo diremos, para recordar, que el lado recto es igual a 4p.

Ejemplo:

Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice en el origen y que contiene al punto B(3, 4), además su eje de simetría (o eje focal) es paralelo al eje X.

Resolución: 

El punto B (3, 4) nos indica que

X = 3

Y = 4

Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación

Entonces la ecuación será

Y el Foco estará en el punto 4/3, 0

Vemos que 4/3 corresponde al valor de p, y como la directriz está a la misma distancia de p respecto al vértice, pero hacia el lado contrario, entonces, la directriz será:

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Elipse

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo que se denomina foco y a una recta dada llamada directriz permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma.

Elementos de una elipse

La elipse y algunas de sus propiedades geométricas.

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:

El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y

El semieje menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Puntos de una elipse

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro,F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d (P,F1)+d(P,F2)=2a).

Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q.

Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:

Don de  es la medida del semieje mayor de la elipse.

Ejes de una elipse

El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.

Excentricidad de una elipse

La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su se mi distancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.4 La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.

(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos. Véase: número e).

Excentricidad angular de una elipse

La excentricidad angular  es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad, esto es:

En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse.

Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:

PF1 + PF2 = 2a

En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.

Directrices de la elipse

La recta d,D es una de las 2 directrices de la elipse.

Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:

La relación entre estas dos distancias es la excentricidad  de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.

Además de la bien conocida relación     también es cierto que

la fórmula  

Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d, la cual además es paralela a la directriz anterior. Ver más adelante cómo se dibuja la directriz.

Elementos gráficos de la elipse

Nomenclatura

La descripción corresponde a las imágenes de la derecha.

Los diámetros principales o ejes principales son los diámetros máximo y mínimo de la elipse, perpendiculares entre sí y que pasan por el centro. Tradicionalmente son nombrados A-B el mayor y D-C el menor, aunque también se utilizan otras nomenclaturas, como A-A' el mayor yB-B' el menor.

El centro de la elipse se suele nombrar O (origen). En la circunferencia los focos coinciden con el centro.

Los focos se suelen nombrar con la letra F acompañada de algún medio de diferenciarlos, F1 - F2, o F' - F" .

El diámetro mayor de la elipse se suele designar 2a, siendo a el semieje mayor. El semieje menor se denomina b y el diámetro menor 2b. La distancia de cada foco al centro se denomina c.

Los segmentos que van de cada foco a un punto de la elipse se denominan radios vectores; la suma de los radios vectores de cada punto es una constante igual a 2a.

En la imagen de la derecha vemos algunas otras líneas y puntos importantes de la elipse.

La circunferencia principal (c. p., en verde) tiene como centro el de la elipse, y como radio a. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los pies de las tangentes a la elipse (como se ve en el ejemplo).

Las circunferencias focales (c. f., en verde también) son las que tienen como centro cada foco y como radio 2a. Las circunferencias focales y la principal cumplen una homotecia de razón = 2 y centro en cada foco (el de la circunferencia focal contraria).

La recta t en color cian es una tangente por un punto cualquiera. Al punto de tangencia se lo suele nombrar T, T1, T2, etc. Los segmentos perpendiculares a las tangentes que pasan por los focos, aquí en rojo, se suelen prolongar hasta la circunferencia focal del foco opuesto. No coinciden con la normal a la tangente salvo en los extremos de los ejes principales.

Los puntos donde se cruzan las normales con sus tangentes son los pies de la tangente. Ese punto pertenece siempre a la circunferencia principal. Al doble de la distancia de F al pie se encuentra el corte de la normal con la circunferencia focal del foco opuesto.

Diámetros conjugados

Se denominan diámetros conjugados a cada par de diámetros de la elipse que cumple que uno de ellos pasa por el centro de todas las cuerdas paralelas al otro (ver debajo el dibujo de la derecha).

Otra definición es que son conjugados los diámetros cuyos afines en una circunferencia afín a la elipse son perpendiculares (dibujo de la izquierda).

Los diámetros principales serían también diámetros conjugados. Existen varios métodos para hallar los diámetros principales a partir de los conjugados.

Rectas directrices

La definición de las rectas directrices está en una sección anterior (véase), y también la definición de la elipse a partir de ellas. Es una expresión de la excentricidad de la elipse. El modo de hallarlas gráficamente se muestra en la siguiente imagen.

Trazamos una perpendicular al diámetro mayor por un foco hasta la circunferencia principal, dibujamos por el punto de corte una tangente a dicha circunferencia; en el lugar donde esa tangente encuentra la prolongación del diámetro mayor está la directriz, que es perpendicular al diámetro mayor.

Dibujo de la elipse

Modo de dibujar la elipse conocida como "elipse del jardinero", mediante dos puntos fijos y una cuerda

Elipse “del jardinero”

El método se basa en la definición más corriente de la elipse, como lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos es constante. Los clavos o las chinchetas se colocan en el lugar de los focos, y la cuerda debe medir lo mismo que el eje mayor (2a). En el ejemplo de la foto al lazo de cuerda se le debe añadir la distancia de los focos. Con la cuerda tensa se mueve el lápiz o material de dibujo rodeando por completo los dos focos.

Se denomina “del jardinero” a este método porque sirve para trazar en el suelo elipses de gran tamaño y precisión suficiente, con medios modestos. Ver en la sección siguiente el modo de determinar los focos a partir de los ejes.

Modo de determinar los focos

El modo de determinar los focos a partir de los ejes, o un eje a partir de otro y los focos, se basa en la definición. Dibujados los dos ejes principales, se toma con el compás la medida a de la mitad del eje mayor. Haciendo centro en un extremo del eje menor, el compás cruza por el eje mayor en los focos.

Dado el eje mayor con los focos, la medida a aplicada a cada foco nos da arcos que se cruzan en los extremos del eje menor.

Dado un eje menor y la distancia de los focos, primero debemos hallar la recta sobre la que está el eje mayor, luego dibujar los focos a la distancia dada, y desde ellos tomar la distancia a los extremos del eje menor, que es la mitad del eje mayor.

Método de radios vectores

También denominado "por puntos"; con este método dibujamos un número suficiente de puntos mediante el compás. Como en el método tradicional visto antes usamos los radios vectores y la propiedad de que la suma de los radios vectores de un punto es igual a la medida del eje mayor.

Dados dos ejes principales y determinados los focos, se toman puntos al azar sobre el eje mayor entre el centro O y uno de los focos. Generalmente tres o cuatro, y preferiblemente cerca del foco por comodidad del dibujo.

Tomamos con el compás la distancia de un extremo del eje mayor (A) a cada uno de los puntos del eje (1). Haciendo centro en cada foco trazamos arcos con esa medida. A continuación tomamos el resto de la medida del eje mayor, desde el punto (1) al otro extremo (B), y con esa medida, haciendo centro de nuevo en los focos, cruzamos los arcos trazados antes. Las cruces nos dan puntos que pertenecen a la elipse.

Repitiendo la operación tantas veces como sea necesario obtenemos puntos de la elipse. Se completa el dibujo a mano o mediante plantillas de curvas.

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